Para el caso especial de ((X_1, X_2)), podemos usar fórmulas directas:
β0 desde 6β0 + 21β1 + 22β2 = 46: 6β0 = 46 - 21·1.5655 - 22·0.478 21·1.5655 ≈ 32.8755 22·0.478 ≈ 10.516 Sum = 43.3915 6β0 = 46 - 43.3915 = 2.6085 β0 = 0.43475 ≈ 0.435
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
480=420−75β1−45β2+88β1+55β2480 equals 420 minus 75 beta sub 1 minus 45 beta sub 2 plus 88 beta sub 1 plus 55 beta sub 2
275=80b1+250b2(Ecuación B)275 equals 80 b sub 1 plus 250 b sub 2 space (Ecuación B) Sustituimos la dentro de la Ecuación B : regresion lineal multiple ejercicios resueltos a mano
3340=40(80−8b1−80b2)+360b1+3280b23340 equals 40 open paren 80 minus 8 b sub 1 minus 80 b sub 2 close paren plus 360 b sub 1 plus 3280 b sub 2
La es una de las técnicas más poderosas y utilizadas en estadística y aprendizaje automático. Permite modelar la relación entre una variable dependiente (Y) y dos o más variables independientes (X₁, X₂, …, Xₖ). Entender cómo se calculan los coeficientes a mano es fundamental para asimilar los conceptos subyacentes, más allá de depender de software como R, Python o SPSS.
5736=70(80−14β1−7β2)+1020β1+508β25736 equals 70 open paren 80 minus 14 beta sub 1 minus 7 beta sub 2 close paren plus 1020 beta sub 1 plus 508 beta sub 2
) basándose en el valor de dos o más variables independientes ( La Ecuación General La fórmula que intentamos construir es: Para el caso especial de ((X_1, X_2)), podemos
\beginbmatrix n & \sum X_1 & \sum X_2\ \sum X_1 & \sum X_1^2 & \sum X_1X_2\ \sum X_2 & \sum X_1X_2 & \sum X_2^2 \endbmatrix ] Calculamos:
Calculamos regresión lineal simple: (Y = a + b X_1) (b = \frac\sum (X_1 - \barX_1)(Y - \barY)\sum (X_1 - \barX_1)^2) Medias: (\barX_1 = 30/5 = 6), (\barY = 149/5 = 29.8) (\sum (X_1 - \barX_1)(Y - \barY) = (4-6)(23-29.8) + (5-6)(26-29.8) + ... = (-2)(-6.8) + (-1)(-3.8) + (0)(0.2) + (1)(4.2) + (2)(6.2) = 13.6 + 3.8 + 0 + 4.2 + 12.4 = 34) (\sum (X_1 - \barX_1)^2 = (4-6)^2 + ... = 4+1+0+1+4 = 10) (b = 34/10 = 3.4) (a = \barY - b\barX_1 = 29.8 - 3.4×6 = 29.8 - 20.4 = 9.4) Modelo: (\hatY = 9.4 + 3.4 X_1). Este coeficiente 3.4 es el mismo que obtuvimos en la ecuación (4) como (\beta_1+\beta_2).
Ȳ=∑Yn=1405=28cap Y bar equals the fraction with numerator sum of cap Y and denominator n end-fraction equals 140 over 5 end-fraction equals 28
). Aunque hoy en día los softwares estadísticos resuelven estos cálculos en milisegundos, comprender el proceso matemático resolviendo un ejercicio te dará una ventaja analítica invaluable. Este coeficiente 3
Observemos que los coeficientes no son "bonitos". Podemos resolver directamente:
275=80(3.5−2b2)+250b2275 equals 80 open paren 3.5 minus 2 b sub 2 close paren plus 250 b sub 2
Σ(X1 - X̄1)(Y - Ȳ) = (-375)(-3,75) + (-75)(-1,75) + (125)(1,25) + (325)(4,25) = 1.437,5 Σ(X2 - X̄2)(Y - Ȳ) = (-37,5)(-3,75) + (-17,5)(-1,75) + (12,5)(1,25) + (42,5)(4,25) = 431,25 Σ(X1 - X̄1)^2 = (-375)^2 + (-75)^2 + (125)^2 + (325)^2 = 343.750 Σ(X2 - X̄2)^2 = (-37,5)^2 + (-17,5)^2 + (12,5)^2 + (42,5)^2 = 6.875
( 36 b_1 + 20 b_2 = 64 ) (B')